נקודת יישום של כוח
כוחות הפועלים כאשר גופים באים במגע ישיר זה עם זה, פועלים על כל שטח הפנים שבא במגע. למשל, פטיש המכה בראש מסמר פועל על כל ראשו. אולם אם שטח המגע בין הגופים קטן ביחס למימדיהם, ניתן להניח כי הכוח פועל רק על נקודה אחת של גוף נתון. לדוגמה, אפשר להניח כי חוט שבעזרתו מושכים עצם, פועל רק בנקודה בה הוא קשור אליו. נקודה זו נקראת נקודת היישום של כוח. זוהי נקודה שממנה מתחיל וקטור הכוח.
כוח שקול
אם על גוף כלשהו פועלים כמה כוחות באותו הזמן, ניתן להחליף את השפעתם על תנועת הגוף בהשפעה של כוח אחד. כלומר כוח כזה, שהשפעתו תיהיה שקולה להשפעתם של הכוחות הנתונים. להחלפה כזאת קוראים חיבור כוחות. לכוחות הפועלים קוראים כוחות מרכיבים או פשוט - רכיבים, ולכוח המחליף - סכום או שקול. הכוח השקול של שני כוחות מאוזנים, כמו למשל, שני כוחות השווים בגודלם והמנוגדים בכיוונם הינו אפס.
יש לציין כי כוח שקול מחליף השפעה של כמה כוחות רק על תנועה של גוף: הכוח השקול יקנה לגוף את אותה התאוצה וכוח שמאזן את הכוח השקול, יאזן גם את כל הכוחות המרכיבים. אולם, כוח שקול לא מחליף סוגים אחרים של השפעות. לדוגמה, נמתח קפיץ באמצעות שתי הידיים. הכוחות שפועלים על הקפיץ הינם שווים בגודלם ומנוגדים בכיוונם, כלומר הכוח השקול שווה לאפס: הקפיץ נשאר במנוחה. אולם, אם על הקפיץ לא היו כלל פועלים כוחות, השקול היה עדיין שווה לאפס, אך במקרה זה הקפיץ לא היה בכלל מוארך.
במקום לחפש את הכוח השקול, ניתן לחפש את הכוח המאזן את הכוחות הנתונים הפועלים בו זמנית; הכוח השקול שווה בגודלו לכוח המאזן, אך מנוגד לו בכיוונו.
אם כן, נוכל לסכם כי אם על מסה נקודתית פועלים כמה כוחות באותו הזמן, ניתן להחליפם על ידי כוח שקול. כוח שקול הינו הסכום הוקטורי של כל הכוחות, וניתן למצוא אותו באמצעות כלל המצולע.
אם המצולע יהיה סגור, זה אומר ששקול הכוחות הינו אפס. מערכת כזאת של כוחות נקראת מערכת מאוזנת. דוגמה למערכת כזאת היא מערכת המורכבת משלושה כוחות הפועלים על מסה נקודתית השווים בגודלם, והנמצאים באותו המישור בזווית של $120^{\circ}$ זה עם האחר.
הקשר בין כוח לבין תאוצה
במאמרים על אינרציה ניסחנו את חוק ההתמדה, שלפיו גוף מקבל תאוצה רק במקרה בו עליו פועל כוח כלשהו. מניסויים מסתבר, כי כיוון התאוצה הוא ככיוון הכוח שגורם לתאוצה. נראה את הקשר שבין גודל הכוח לבין גודל התאוצה.
מניסיון יומיומי, אנו יודעים כי התאוצה של גוף תיהיה גדולה יותר אם נפעיל כוח רב יותר: כדור יקבל תאוצה גדולה יותר (ולכן גם יצבור מהירות גדולה יותר) ככל שנבעט בו יותר חזק; משיכה יותר חזקה בחבל הכרוך סביב גלגלת תגרום לגלגלת להאיץ, כלומר להסתובב יותר מהר וכדומה. בכדי לראות את הקשר הכמותי שבין כוח לבין תאוצה, ניתן לבצע את הניסוי הבא. נניח כי עגלה מחוברת באמצעות דינמומטר אל חוט הכרוך סביב גלגלת אשר מחוברת אליו משקולת.
המשקולת מותחת את הקפיץ של הדינמומטר והקפיץ מוסר תאוצה לעגלה באמצעות הכוח האלסטי שהוא מפעיל. ככל שמסת המשקולת רבה יותר, כך גם הקפיץ נמתח יותר ולכן גם התאוצה של העגלה רבה יותר. יש לציין כי הוריית הדינמומטר בדוגמה לעיל תיהיה קטנה יותר מאשר במקרה של משקולת המחוברת על דינמומטר נייח (את הסיבה לכך נגלה כאשר נדון בנפילה חופשית).
אם נסתכל על התארכות הקפיץ של הדינמומטר, נבחין כי היא לא משתנה. כלומר הכוח שפועל על העגלה הינו קבוע. הערך המוחלט שלו נותן את הוריית $F$ של הדינמומטר. נניח כי הדרך $s$ שעוברת העגלה בפרקי זמן שונים $t$ מתחילת התנועה, ניתן לקבוע באמצעות טפטפת. מדידות יראו כי הדרך שעוברת העגלה פרופורציונית לריבוע הזמן שעבר מתחילת התנועה. זה אומר שהעגלה נעה בתאוצה קבועה. את הגודל של התאוצה $a$ ניתן לבטא כך:
$$a=\frac{2s}{t^2}$$
בכל פעם שנתלה משקולת אחרת בקצה החוט, על העגלה יפעל כוח אחר. אם נמדוד כל פעם באמצעות דינמומטר את גודל הכוח בכל המקרים $F_1,F_2,F_3,..$ ונרשום את התאוצות $a_1,a_2,a_3,..$ בהתאמה, אנו נראה כי בכל מקרה התאוצה נמצאת ביחס ישר לכוח הפועל על העגלה:
$$\frac{F_1}{a_1}=\frac{F_2}{a_2}=\frac{F_3}{a_3}=...$$
מניסויים מסתבר שלא רק במקרה הזה, אלא בכל המקרים האחרים התאוצה של גוף פרופורציונית לכוח שמופעל על הגוף. מכאן נובע שעל מנת למצוא את התאוצה שמקבל גוף תחת השפעה של כוחות שונים, מספיק למדוד פעם אחת בלבד את הכוח ואת התאוצה; ואז אם יופעל על גוף כוח אחר, תאוצתו תשתנה פי כמה שהכוח השתנה.
מסה של גוף
כפי שהראנו קודם לכן, תאוצה המוקנית לגוף על ידי כוח כלשהו פרופורציונית לכוח זה. כעת נראה מה קורה כאשר מקנים תאוצות לגופים שונים. קל להיווכח כי התאוצה שתתקבל תלוייה לא רק בכוח עצמו אלא גם בגוף שמקבל אותה. למשל, נמשוך שונים באמצעות דינמומטר, ובכל פעם נוודה שהוריית הדינמומטר תיהיה זהה, כלומר שבכל פעם הכוח יהיה אותו כוח. אפשר לבצע זאת אם נשנה קצת את הניסוי שתיארנו בפסקה הקודמת, תוך החלפה של עגלה בכל פעם או העמסה של משקולות על העגלה, כך שבכל פעם, כאמור, הוריית הדינמומטר תיהיה זהה.
מהניסויים אנו נראה כי בכל פעם גופים שונים יקבלו תאוצות שונות תחת השפעה של אותו הכוח. לכן אנו יכולים להכניס את מושג מידת האינרציה של גוף. אנו נומר שמידת האינרציה של שני גופים היא שווה אם תחת השפעה של אותו כוח הם מקבלים תאוצות זהות. כמו כן, נוכל לומר כי מידת האינרציה גדולה יותר ככל שהגוף מקבל תאוצה קטנה יותר תחת השפעה של כוח נתון. כלומר, מידת האינרציה של גוף היא "מידת אי הרצון" של גוף לשנות את מצבו (להאיץ); הרי הגוף שואף להתמיד במצבו, וכבר אמרנו כי האצה הינו מצב מאולץ, בעוד שתנועה בקו ישר ובמהירות קבועה זה המצב הטבעי.
מה קובע את מידת האינרציה של גופים שונים? אילו תכונות של גוף קובעות את התאוצה שהוא מקבל כתוצאה מכוח נתון? אילו תכונות קובעות את הכוח שיש להפעיל על מנת לקבל את התאוצה הרצוייה? ניסויים מראים כי עבור גופים העשויים מאותו החומר, למשל, אלומיניום, התאוצה הנגרמת על ידי אותו כוח קטנה יותר ככל שהנפח של הגוף גדול יותר, ואף נמצאת ביחס הפוך לנפח. אך אם נבצע ניסויים עם גופים העשויים מחומרים שונים (למשל מברזל, אלומיניום, עץ), לא נראה שום קשר בין התאוצה לבין הנפח: גופים עם נפח זהה יקבלו תאוצות שונות תחת השפעה של אותו הכוח, ועל מנת לקבל תאוצות זהות, נצטרך להקטין את הנפח של הגוף העשוי מברזל לעומת הנפח של הגוף העשוי מאלומיניום, ולהקטין את נפחו של הגוף העשוי מאלומיניום לעומת הנפח של הגוף העשוי מעץ. לא ניתן לדעת מראש איזה יחס נפחים צריך להיות על מנת שגופים העשויים מחומרים שונים ייקבלו תאוצות זהות. יש לקבוע באמצעות ניסויים את הנפח שצריך להיות לגוף מאלומיניום או מעץ על מנת שתחת השפעה של אותו כוח הוא יקבל את אותה התאוצה כמו של גוף העשוי מברזל. וכאמור, אם תחת השפעה של כוח זהה הגופים מקבלים תאוצות זהות, אנו אומרים כי מידת האינרציה של הגופים שווה.
למידת האינרציה של גוף קוראים מסה ובדרך כלל מסמנים באות m (או M).
מסה של גוף הינה התכונה הפיזיקלית שלו, הקובעת את היחס שבין הכוח הפועל עליו לבין התאוצה שהוא מקבל. מפני שכוח ותאוצה שהכוח מוסר לגוף נמצאים ביחס ישר זה אל זה, מגדירים את המסה בתור היחס שבין הכוח $F$ הפועל על הגוף לבין התאוצה $a$ שהגוף מקבל, כלומר
$$m=\frac{F}{a}$$ במילים אחרות $$F=ma$$
אם נפעיל על גוף נתון כוח $F$ ונמדוד את התאוצה שהגוף קיבל, אנו נוכל לדעת את המסה $m$ של הגוף באמצעות המשוואה לעיל. עבור גוף נתון $m$ הינו קבוע ולא תלוי בכוח המופעל.
בדרך זו ניתן למדוד גם מסה של גוף המורכב מגופים אחרים, או למדוד מסה של חלק מסוים של גוף. אם נמדוד את המסות $m_1,m_2,m_3,...$ של כמה גופים ולאחר מכן נחבר אותם לגוף אחד, כך שתחת כוח קבוע כל אחד מהם יקבל תאוצה זהה, אנו נראה שהמסה של הגוף שהתקבל תיהיה
$$m=m_1+m_2+m_3+...$$
גם ההפך נכון - אם נפרק גוף לחלקים, סכום מסות כל החלקים יהיה שווה למסה של הגוף המקורי. ובפרט, אם גוף אחיד בעל מסה $m$ מפורק ל-$n$ חלקים השווים בנפחם, מסה של כל חלק היא $m/n$.
נציין גם עובדה חשובה מאוד. אם ניקח גופים שונים עם מסות שוות ונתלה כל אחד מהם אל דינמומטר, הוא יראה עבור כל גוף את אותו הערך. אם מניסויים דינמיים הסתבר כי מסה של גוף מסוים גדולה פי $n$ ממסה של גוף אחד, אזי שהגוף הראשון ימתח את הקפיץ של הדינמומטר פי $n$ יותר חזק מאשר הגוף השני. זה אומר, שכוח המשיכה של כדור הארץ הפועל על גופים בקרבתו, נמצא ביחס ישר למסות הגופים.
העובדה הזאת מאפשרת להשוות מסות מבלי להקנות לגופים תאוצה.
החוק השני של ניוטון (החוק הראשי של דינמיקה)
מניסויים שהצגנו בפסקה הקודמת, גילינו כי קיים קשר לינארי (ישר) שבין הכוח $F$ הפועל על גוף נתון, לבין גודל התאוצה שהוא מקבל בגלל פעולה של כוח זה. אנו גם הגדרנו גודל חדש - מסה של גוף
מסתבר גם שלוקטור התאוצה אותו הכיוון כמו לוקטור הכוח. לכן את המשוואה הקודמת ניתן לכתוב בכתיב וקטורי:
$$ \mathbf{F} = m\mathbf{a}$$
נזכיר כי כאן $\mathbf{F}$ מסמן את הכוח השקול הפועל על הגוף, $m$ - מסת הגוף ו-$\mathbf{a}$ - התאוצה שהגוף מקבל תחת השפעת הכוח $\mathbf{F}$. הנוסחה הזאת מבטאת את החוק המרכזי של דינמיקה, הנקרא גם החוק השני של ניוטון. ניתן לנסח את החוק השני של ניוטון כך:
שקול הכוחות הפועלים על גוף נתון שווה למכפלת המסה של הגוף בתאוצה שהכוחות מקנים לגוף, וכיוון התאוצה ככיוון הכוח השקול.
את הנוסחה הקודמת ניתן לרשום גם כך:
$$\mathbf{a}=\frac{\mathbf{F}}{m}$$
ונוכל לנסח את החוק השני של ניוטון בצורה קצת שונה: התאוצה שגוף נתון מקבל, נמצאת ביחס ישר לכוח השקול הפועל על הגוף וביחס הפוך למסת הגוף, וכיוונה ככיוון הכוח השקול. בפרט, מכאן נובע שכאשר על גופים שונים פועלים כוחות שווים בגודלם, הגופים מקבלים תאוצות הנמצאות ביחס הפוך למסתם; ההפך גם נכון - אם גופים שונים מקבלים תאוצות הנמצאות ביחס הפוך למסותיהם, זה אומר שפועלים עליהם כוחות השווים בגודלם.
אם כוח בעל כיוון קבוע התחיל לפעול על גוף נח או שהכוח מופעל בכיוון המהירות במקרה של גוף נע (למשל גוף הנופל ללא מהירות התחלתית; גוף הנזרק אנכית למעלה) אזי הגוף ינוע בקו ישר. אם הכוח פועל בזווית עם מהירות של גוף, הגוף ינוע בקו עקום. מהחוק השני של ניוטון נובע גם שעצם בעל מסה קבועה ינוע בתנועה שוות תאוצה תחת השפעה של כוח קבוע. אם הכוח לא קבוע, אזי שהתאוצה גם משתנה. במקרה זה, הנוסחה המבטאת את החוק השני של ניוטון נותנת ערך רגעי, ערך עבור נקודת זמן מסוימת. אם הכוח קבוע אך המסה משתנה, אזי שגם במקרה הזה התאוצה משתנה. דוגמה לכזה מצב הינה טיל אשר פולט תוצרי בעירה, מה שגורם למסתו לקטון. אם במצב כזה פועל על הטיל כוח קבוע, תאוצתו גדלה.
החוק השני של ניוטון מכיל גם את החוק הראשון, חוק ההתמדה, כמקרה פרטי. כאשר $F=0$ אזי גם $a=0$, כלומר אם לא פועלים על הגוף כוחות (או ששקול הכוחות הפועלים על הגוף הינו אפס), אזי שהתאוצה גם היא שווה לאפס, ולכן הגוף מתמיד במצבו - נח או נע בקו ישר במהירות קבועה.
כפי שראינו, בחוק השני של ניוטון מופיעה $\mathbf{a}$ - תאוצה של גוף ביחס לכדור הארץ. אולם בכל מערכת ייחוס אינרציאלית אחרת התאוצה לא תשתנה (לעומת מהירות שמשתנה ממערכת ייחוס אינרציאלית אחת לאחרת).
יחידות של כוח ומסה
על מנת לבצע ניסויים ומדידות על סמך חוקי ניוטון, יש לבחור יחידות עבור כוח ומסה, כך שיישמר היחס
יחידה של מסה = יחידה של כוח / יחידה של תאוצה. ב-SI יחידה של מסה הינה קילוגרם (ק"ג) אשר מייצגת מסה של גוף העשוי מפליטום-אירידיום, אשר נמצא בעיר סבר (ליד פריז). הגוף הזה נקרא האב טיפוס של קילוגרם ומסתו קרובה למסה של 1000 סמ"ק של מים נקיים בטמפרטורה של $4^{\circ}\text{C}$.
יחידה של כוח ב-SI הינה ניוטון (נ') השווה לכוח, אשר תחת השפעתו גוף בעל מסה של קילוגרם אחד מאיץ בתאוצה של מטר אחד לשנייה בריבוע. כלומר
$$1 \text{N}=1 \text{kg} \cdot 1 \text{m/s}^2=1 \text{kg} \cdot \text{m/s}^2$$
אין תגובות:
הוסף רשומת תגובה